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[柯西收敛准则] 设函数f(x)在区间[a,+∞)上有定义,任取b>a,都有函数f(x)在闭区间[a,b]上可积。无穷积分∫[a,+∞)f(x)dx收敛当且仅当对于任给ε>0,总存在X>a,使得对于任意x₁,x₂>X,都有|∫[x₁,x₂]f(x)dx|<ε.
[柯西收敛准则] 设函数f(x)在区间(a,b]上有定义且在点a的右邻域内无界,设ε_0>0,都有函数f(x)在闭区间[a+ε_0,b]上可积。瑕积分∫(a,b]f(x)dx收敛当且仅当对于任给ε>0,总存在δ>0(a+δ<b),使得对于任意a<x₁,x₂<a+δ,都有|∫[x₁,x₂]f(x)dx|<ε.