高中物理
【物理专题研究-高一下物理拓展】阻力与速度关联问题
前言：
本文旨在对高一下册内容进行拓展，部分内容可能会超出考纲。同时本文内容需要一定的数学基础，包括微积分以及导数等内容。且本文将会严格区分标量和矢量，正文部分标粗字体为矢量。
作者也只是今年的高一应届生，只是对自己的学习进行总结分享，如有不足，欢迎指出。
一、谈谈阻力与速度成正比的问题
（a）下雨时，雨滴从天上落下，雨滴除了受重力作用外，还受空气阻力作用，空气阻力f=-kv，k是正常数。假设高度足够高，只考虑竖直方向，雨滴质量为m，t=0s时雨滴速度为V₀，重力常数为g，求雨滴速度关于时间的函数
（不允许嘲笑作者的画功，我已经很努力地画雨滴💧了）
解析：
可以通过牛顿第二定律，表达出速度关于时间的微分表达式，结合积分等数学工具，求出其速度关于时间的表达式，然后进一步求导或者积分还可以推导位移和时间的函数以及加速度与时间的函数，此处不求，读者感兴趣可自求。
相信通过这一道非常简单的例题，我们已经可以大致把握这一种阻力与速度关联的常规解法了：
1、建立参考系，通过牛顿第二定律表达加速度
2、将加速度拆解为dv/dt，通过积分的数学方法推导出速度关于时间的函数
3、通过求导或者再次积分推导出位移关于时间的函数和加速度关于时间的函数
这三步是对于阻力正比于速度的问题的通解，大多数问题都可以通过这个步骤解决，只是计算的复杂与否
现在我们将问题拓展到二维，接下来我会阐述三种不同的解题方法
（b）现有一质量为m的小球做斜抛运动，初速度为V₀，抛角为θ，小球受到的空气阻力f=-kv，描述小球的运动轨迹
解析：
【法一】数学法
鲁迅曾经说过：“大抵在物理的疆场上，数学便是那最锋利的刃；倘非要用血肉之躯去肉搏白刃战，倒不如擎起这铁器来——总归能劈出个分明些的理路罢！”
不要跟我说什么巧妙方法，正交分解，算！
我们可以把这一个复杂的运动用笛卡尔坐标系来描述，然后对两个坐标分别用题（a）的思想求解
我们把两个方向的坐标关于时间的函数找到了，我们就相当于非常清晰的描述了这一个运动的轨迹
那我怎么知道这一个对不对呢？这里我的物理老师给出了一种检验方法
最后我们发现结果和我们算的是一样的
【法二】
其实这一种方法的核心操作和法一相差无几，但是这种方法巧妙在他选择的不是笛卡尔坐标系，而是平面斜坐标系，通过坐标系的选择规避掉了一部分复杂的表达，这里我只将它的坐标系写出，并不做实际运算，如有感兴趣者可自行计算
【法三】
配速法，这一个方法的核心思想是将速度进行分解，使得其中一个分量所产生的阻力正好与重力抵消
这里我定义了两个方向，我是生动的用确定这两个方向的矢量作为这两个方向的名称
然后我们算出了这两个方向上的速度关于时间的函数，按照之前的思想，我们通过积分的方法一定能算出它的位移关于时间的函数
然后图中的α角是可以求出来的，在v'₀、v₀和u三个矢量围成的三角形中，v'₀，u和＜v₀，-u＞三个全部已知，那么这个三角形就唯一确定了，通过数学手段肯定能把α求出来，这样子两个方向也就确定了
二、题目讨论
这里留一道题目供大家思考，依旧是有多种解法，我选择的是类似于题（b）法一和法三，都可以解出答案，今天写的太累了，可能过几天或者下一周，我再把这一道题的答案整理出来，这道题有难度的，但是想通了也就那样吧（doge）
（c）有一个匀强电场B，其中有一个质量为m，所带电荷为+q的小球，小球拥有一个和水平方向夹角为θ的初速度v₀，小球受到洛伦兹力和重力，其余一切阻力忽略不计，描述小球的运动轨迹
【知识卡片】
相信很多高一的同学没有学过电学，这里我把它简化成一个纯动力学问题，洛伦兹力的定义如下
这里的q可以理解为常量，v是物体的运动速度，B是磁场，而上图中“x”表示磁场方向垂直纸面向里
如果对叉乘还不太了解的同学浅要了解它的定义就能做这道题了
右手螺旋定则详解：
还看不懂没办法了，只能自己查了，视频不给发，被制裁了好几次
这里插一句，比起右手螺旋，作者更喜欢左手螺旋，方法一样，但是方向要和大拇指指的方向取反，好处是不用放下笔，可以一边写一边比划
作者想尝试搞一个小群，让各个学校的同学可以互相交流资料和问题，因为个人去找资料太麻烦了，就希望有这样子平台能够用我手上的资料直接换得别人手上的资料
想一起学习直接扩列
#拓展
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#动力学  #运动学
2025-04-12
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