数学学不懂！
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【一句话系列】概率学定理
1. 古典概型：挑 M 个结果，概率就是 M/N。
2. 加法公式：A 或 B 的概率 ≤ P(A)+P(B)。
3. 乘法公式：A 且 B 的概率 = P(A)·P(B|A)。
4. 全概率公式：把样本空间切成几块，概率就是各块概率的加权平均。
5. 贝叶斯公式：知道结果倒推原因，用先验×似然 / 证据。
6. 二项分布：n 次独立同试，成功 k 次的概率。
7. 泊松分布：时间或空间上稀疏事件的概率。
8. 几何分布：第一次成功所需的试验次数的概率。
9. 均匀分布：区间里每一点的机会完全一样。
10. 指数分布：无记忆等待时间的概率。
11. 正态分布：钟形曲线，均值±方差决定一切。
12. 大数定律：试得越多，频率越贴真概率。
13. 中心极限定理：大量随机和逼近正态。
14. 切比雪夫不等式：离均值越远，概率衰减越快。
15. 马尔可夫不等式：非负随机变量超出某值的概率 ≤ 期望/该值。
16. 强大数定律：样本均值几乎必然收敛到期望。
17. 伯努利大数定律：成功频率收敛到单次成功概率。
18. 柯尔莫哥洛夫 0-1 律：尾事件要么必发生要么必不发生。
19. 博雷尔-坎泰利引理：无限次独立试验，出现无穷次的概率非 0 即 1。
20. 辛钦弱大数定律：只需一阶矩即可保证均值依概率收敛。
21. 列维连续定理：特征函数点点收敛 ⇒ 分布收敛。
22. 林德伯格-费勒条件：中心极限定理成立的充要判据。
23. 克拉美定理：独立和的特征函数可决定分布。
24. 费曼-卡茨公式：把期望写成路径积分。
25. 杜布鞅收敛定理：非负鞅几乎必然收敛。
26. 伊藤引理：随机微分的链式法则。
27. 吉尔萨诺夫定理：测度变换下的漂移修正公式。
28. 狄利克雷分布：多类别概率向量的共轭先验。
29. 埃尔朗分布：k 个指数等待时间之和的概率。
30. 威布尔分布：失效时间随形状参数可凹可凸。
31. 高斯-马尔可夫定理：线性无偏估计中方差最小的是最小二乘。
32. 斯特林公式：n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ，误差指数级小。
33. 赫尔德不等式：期望乘积≤各自Lp范数的乘积。
34. 詹森不等式：凸函数期望≥期望的凸函数。
35. 巴纳赫-塔斯基悖论：体积可凭空复制，但非可测。
36. 维纳-辛钦定理：平稳过程的功率谱＝自相关傅里叶变换。
37. 费雪-奈曼分解：充分统计量的判定准则。
38. 克拉美-拉奥下界：无偏估计方差不可能低于某极限。
39. 伯恩斯坦不等式：独立和有界变量偏离期望的概率指数衰减。
40. 霍夫丁不等式：有界独立变量和的集中不等式。
41. 阿祖马不等式：鞅差序列的集中不等式。
42. 麦克迪阿密德不等式：有界差异函数的集中不等式。
43. 杜布停止定理：停时鞅的期望仍等于初值。
44. 莱维鞅刻画：布朗运动是唯一连续鞅且二次变差为 t。
45. 吉尔文-坎特利定理：经验过程一致收敛到真实分布。
46. 德布林收敛：随机迭代映射在收缩条件下必收敛到唯一不变分布。
47. 凯莱定理：有限群上的随机游走矩阵可用特征值谱分解。
48. 奥恩斯坦-乌伦贝克过程：均值回复的高斯过程，协方差指数衰减。
49. 泊松极限定理：稀疏稀有事件总次数趋于泊松分布。
50. 博雷尔正规数定理：几乎所有实数以任意进制展开时数字均匀出现。
51. 布朗桥定理：固定端点的布朗运动可逆分解。
52. 卡方拟合优度：观测频数与理论频数的平方距离分布。
53. 科尔莫戈洛夫-斯米尔诺夫检验：经验分布与理论分布最大差距的分布。
54. 莱曼-谢弗定理：随机置换中不动点个数的泊松极限。
55. 杜布-迈耶分解：任意下鞅拆成鞅+增过程。
56. 奎克定理：随机树高度与最大路径的期望对数律。
57. 阿伦斯-迪特金算法：从均匀分布生成任意离散分布的拒绝采样。
58. 巴夫卡-埃伦费斯特模型：随机游走刻画热力学熵增。
59. 霍克斯过程：自激励点过程，爆发式连锁事件。
60. 拉普拉斯-德莫弗定理：二项分布的正态近似先驱。
61. 格林函数公式：马尔可夫链吸收概率与期望时间的线性方程组解。
62. 费勒-列维定理：连续时间随机游走的扩散极限。
63. 斯莱皮安引理：高斯相关不等式，球对称集的单调比较。
64. 莱维-辛钦公式：无穷可分分布的特征函数指数表示。
65. 马氏不等式：非负随机变量偏离期望的概率上界。
66. 费马-欧拉定理：模算术下随机指数循环的周期性。
67. 切斯列夫多项式：随机矩阵特征值的正交多项式工具。
68. 拉普拉斯变换：随机变量矩生成函数与分布唯一对应。
69. 米尔斯比率：正态尾概率与密度函数之比极限为 1/x。
70. 维纳测度：连续函数空间上的概率测度，布朗运动的法律。
71. 雷尼熵公式：q-阶熵度量随机变量不确定性。
72. 柯西-施瓦茨熵不等式：联合熵与边缘熵的平方根控制。
73. 霍夫丁引理：有界随机变量矩母函数的对数凹性。
74. 德沃雷茨基-基弗-沃尔福威茨不等式：经验分布的均匀收敛界。
75. 吉尔文-坎特利-瓦拉德汉定理：大偏差率函数的存在唯一性。
76. 卡纳普-罗宾斯定理：随机停止规则下的最优抽样策略。
77. 谢泼德校正：离散观测下的连续随机变量矩修正。
78. 埃尔德什-卡茨定理：随机整数加性函数的中心极限现象。
79. 斯皮策恒等式：随机游走最大值的拉普拉斯变换恒等式。
80. 福克-普朗克方程：扩散过程概率密度的演化方程。
81. 奥恩斯坦-查康定理：遍历马尔可夫链的收敛速度指数界。
82. 莱曼-谢弗极限：随机排列中最长递增子序列的 Tracy-Widom 分布。
83. 霍克斯-奥雷斯姆定理：随机几何图连通性的临界阈值。
84. 卡鲁什-库恩-塔克条件：随机优化约束极值的一阶必要条件。
85. 德布林-多布定理：正则条件概率的分解存在性。
86. 拉普拉斯-贝尔特拉米算子：曲面上随机游走的生成元。
87. 莫尔斯-萨德定理：随机映射临界值的零测度性质。
88. 吉尔文-霍尔定理：随机矩阵乘积的 Lyapunov 指数谱。
89. 斯梅尔谱定理：随机动力系统的结构稳定性判据。
90. 卡纳普-罗宾斯最优停时：秘书问题的 1/e 最优阈值。
91. 维纳-伊藤混沌分解：平方可积随机变量的正交级数展开。
92. 莱维-辛钦-柯尔莫哥洛夫公式：独立增量过程的特征三元组。
93. 奥恩斯坦-乌伦贝克半群：均值回复过程的指数收敛速率。
94. 吉尔文-斯奈德定理：随机微分方程解的 Malliavin 可微性。
95. 德布林-沃尔德恒等式：随机停止时间与和的 Wald 方程。
96. 卡鲁什-库恩-塔克对偶：随机凸优化的强对偶零间隙。
97. 费勒边界理论：生灭过程自然尺度的首达概率。
98. 斯皮策-巴克斯特恒等式：随机游走吸收概率的生成函数恒等式。
99. 维纳-德布鲁因恒等式：随机积分与卷积的谱分解。
100. 科尔莫哥洛夫-阿诺德-莫泽定理：随机扰动下不变环面的保持条件。
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2025-08-19
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