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助手不是女仆
我用deepseek解决了困扰我多年的问题：10%额外产还是25%返一个
先说结论：25%返一个期望更高
###在游戏中，三个小材料可以合成一个大材料。有两种合成方法：
1. 方法一：25%的概率返还一个小材料。
2. 方法二：10%的概率额外产生一个大材料。
假设小材料足够多，且返还的小材料可以再次参与合成。我们需要计算两种方法的期望值，并比较哪种方法的期望更高。
---
### 方法一：25%的概率返还一个小材料
#### 分析
- 每次合成消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 有 25% 的概率返还 1 个小材料，相当于节省了 1 个小材料。
- 返还的小材料可以再次参与合成。
#### 期望计算
设 \( E_1 \) 为方法一的期望值（每消耗 3 个小材料得到的大材料数量）。
1. **不返还小材料的情况**（概率 75%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.75 = 0.75 \)。
2. **返还小材料的情况**（概率 25%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料，并返还 1 个小材料。
- 返还的 1 个小材料可以再次参与合成，相当于节省了 1 个小材料。
- 节省的 1 个小材料可以与其他 2 个小材料再次合成，产生额外的期望值 \( E_1 \)。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.25 + E_1 \times 0.25 \)。
综上，期望方程为：
\[
E_1 = 0.75 + 0.25 (1 + E_1)
\]
解方程：
\[
E_1 = 0.75 + 0.25 + 0.25 E_1 \\
E_1 - 0.25 E_1 = 1 \\
0.75 E_1 = 1 \\
E_1 = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.333
\]
**方法一的期望值**：每消耗 3 个小材料，平均得到 \( \frac{4}{3} \) 个大材料。
---
### 方法二：10%的概率额外产生一个大材料
#### 分析
- 每次合成消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 有 10% 的概率额外产生 1 个大材料，即总共得到 2 个大材料。
- 没有小材料返还。
#### 期望计算
设 \( E_2 \) 为方法二的期望值（每消耗 3 个小材料得到的大材料数量）。
1. **不额外产生大材料的情况**（概率 90%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.9 = 0.9 \)。
2. **额外产生大材料的情况**（概率 10%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 2 个大材料。
- 期望贡献：\( 2 \times 0.1 = 0.2 \)。
综上，期望值为：
\[
E_2 = 0.9 + 0.2 = 1.1
\]
**方法二的期望值**：每消耗 3 个小材料，平均得到 1.1 个大材料。
---
### 比较两种方法的期望
- 方法一的期望值：\( \frac{4}{3} \approx 1.333 \) 个大材料。
- 方法二的期望值：1.1 个大材料。
显然，**方法一的期望值更高**。
---
### 结论
在小材料足够多且返还的小材料可以再次参与合成的情况下，**方法一（25%的概率返还一个小材料）的期望值更高**，每消耗 3 个小材料平均得到 \( \frac{4}{3} \) 个大材料，而方法二的平均期望值为 1.1 个大材料。
先说结论：25%返一个期望更高
###在游戏中，三个小材料可以合成一个大材料。有两种合成方法：
1. 方法一：25%的概率返还一个小材料。
2. 方法二：10%的概率额外产生一个大材料。
假设小材料足够多，且返还的小材料可以再次参与合成。我们需要计算两种方法的期望值，并比较哪种方法的期望更高。
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### 方法一：25%的概率返还一个小材料
#### 分析
- 每次合成消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 有 25% 的概率返还 1 个小材料，相当于节省了 1 个小材料。
- 返还的小材料可以再次参与合成。
#### 期望计算
设 \( E_1 \) 为方法一的期望值（每消耗 3 个小材料得到的大材料数量）。
1. **不返还小材料的情况**（概率 75%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.75 = 0.75 \)。
2. **返还小材料的情况**（概率 25%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料，并返还 1 个小材料。
- 返还的 1 个小材料可以再次参与合成，相当于节省了 1 个小材料。
- 节省的 1 个小材料可以与其他 2 个小材料再次合成，产生额外的期望值 \( E_1 \)。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.25 + E_1 \times 0.25 \)。
综上，期望方程为：
\[
E_1 = 0.75 + 0.25 (1 + E_1)
\]
解方程：
\[
E_1 = 0.75 + 0.25 + 0.25 E_1 \\
E_1 - 0.25 E_1 = 1 \\
0.75 E_1 = 1 \\
E_1 = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \approx 1.333
\]
**方法一的期望值**：每消耗 3 个小材料，平均得到 \( \frac{4}{3} \) 个大材料。
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### 方法二：10%的概率额外产生一个大材料
#### 分析
- 每次合成消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 有 10% 的概率额外产生 1 个大材料，即总共得到 2 个大材料。
- 没有小材料返还。
#### 期望计算
设 \( E_2 \) 为方法二的期望值（每消耗 3 个小材料得到的大材料数量）。
1. **不额外产生大材料的情况**（概率 90%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 1 个大材料。
- 期望贡献：\( 1 \times 0.9 = 0.9 \)。
2. **额外产生大材料的情况**（概率 10%）：
- 消耗 3 个小材料，得到 2 个大材料。
- 期望贡献：\( 2 \times 0.1 = 0.2 \)。
综上，期望值为：
\[
E_2 = 0.9 + 0.2 = 1.1
\]
**方法二的期望值**：每消耗 3 个小材料，平均得到 1.1 个大材料。
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### 比较两种方法的期望
- 方法一的期望值：\( \frac{4}{3} \approx 1.333 \) 个大材料。
- 方法二的期望值：1.1 个大材料。
显然，**方法一的期望值更高**。
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### 结论
在小材料足够多且返还的小材料可以再次参与合成的情况下，**方法一（25%的概率返还一个小材料）的期望值更高**，每消耗 3 个小材料平均得到 \( \frac{4}{3} \) 个大材料，而方法二的平均期望值为 1.1 个大材料。
2025-03-09
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