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【题目】（九年级初三拓展）[2015年上中自招］ 已知a、b为正整数，满足7/5＜b/a<3/4，当b最小时，a+b=______。 【思路】 关于整数的离散性： a、b∈Z ∵a<b ∴a≤b-1（连续整数之间相差1，如3<5，则3≤4） 【解答】
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【题目】（一年级小学拓展） 如图，相同符号代表相同数字，补全坚式。 【思路】 此类题关键要找突破口。两个3位数，两个个位数和为另一个数，没特殊性。百位是两个相同数，比个位数更具特殊，但无法确定。两个千位数和有进位，即可确定△为1，且○与□不能是0，则个数和为1必有进位，即○为3，所以□就为8了。 【解答】 按上述思路，得： 318 + 813 _______ 1131
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【题目】（俄罗斯竞赛题） 己知m+1=2024²+2025²，求√(2m+1)。 【解答】 令t=2024 即m+1=t²+(t+1)² m=2t²+2t 即2m+1=4t²+4t+1=(2t+1)² ∴原式=2t+1=2×2024+1=4049
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【题目】（高一） f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数且f(x)f(f(x)+1/x)=1则f(1)=______。 【解答】 设x=1，则f(1)f(f(1)+1/1)=1 设f(1)=t，即t·f(t+1)=1，f(t+1)=1/t 而f(t+1)f(f(t+1)+1/(t+1))=1 即(1/t)f(1/t+1/(t+1))=1 f(1/t+1/(1+t))=t=f(1) ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增
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【题目】（八年级初二拓展） 已知：a+b+c=a²+b²+c²=2，求证：a(1-a)²=b(1-b)²=c(1-c)² 【解答】 要证：a、b、c满足关于x的方程 x(1-x)²=k 高次韦达定理：x1、x2、x3 (x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 x³-(x1+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+x2x3)-x1x2x3=0 ax³+bx²+cx+d=0 x1+x2+x3=-b/a
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【题目】（八年级初二） 方程x⁴+2x³+(3+k)x²+(2+k)x+2k=0有实根，若所有实根之和为-2，则所有实根的平方和_______。 【解答】 方程整理得： x⁴+2x³+3x²+2x+k(x²+x+2)=0 x²(x²+x+2)+x³+x²+2x+k(x²+x+2)=0 (x²+x+k)(x²+x+2)=0 即x²+x+k=0或x²+x+2=0（无实根） ∴x1+x2=-1 x1x2=K=-2
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【题目】（八年级初二拓展）（江西中考自招培优题） 解方程√(3x-4)+³√(5-3x)=1 【解答】 令√(3x-4)=t(t≥0) 则(3x-4)=t²，3x-5=t²-1 ∴5-3x=1-t² 则t+³√(1-t²)=1 即³√(1-t²)=1-t 1-t²=(1-t)³ (1-t)(1+t-1+2t-t²)=0 t(1-t)(3-t)=0 ∴t1=0、t2=1、t3=3 当√(3x-4)=0
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【题目】（八年级初二拓展） 已知f(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d，且f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(-6)。 【思路】 由己知f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30的十倍关系，可将f(x)假设为h(x)+10x，h(x)=0，即h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+10x，再代入目标式即可求值。 【解答】 设f(x)=h(x)+10x
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【题目】（八年级初二）（全国初中数学竞赛题） 若(t-97)²+(t-99)²=1042，求(t-95)(t-101)的值。 【思路】 本题条件式如展开求值代入目标原式，运算量大不宜求得且易出错。因此釆用中值换元，求取4个减数均值，再假设转换求值。 【解答】 ∵(97+99+95+101)/4=98 设m=t-98，即： 条件式(m+1)²+(m-1)²=2m²=1042 即m²=1042/2=251
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【题目】（八年级初二拓展） 若 x²/(2²-1²)+y²/(2²-3²)+z²/(2²-5²)+u²/(2²-7²)=1、 x²/(4²-1²)+y²/(4²-3²)+z²/(4²-5²)+u²/(4²-7²)=1、 x²/(6²-1²)+y²/(6²-3²)+z²/(6²-5²)+u²/(6²-7²)=1、 x²/(8²-1²)+y²/(8²-3²)+z²/(8²-5²)+u²/(8²-7²)=1，那么x²+y²+z²+u²=？
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