缪缪乐坊
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【题目】（八年级初二拓展）
若
x²/(2²-1²)+y²/(2²-3²)+z²/(2²-5²)+u²/(2²-7²)=1、
x²/(4²-1²)+y²/(4²-3²)+z²/(4²-5²)+u²/(4²-7²)=1、
x²/(6²-1²)+y²/(6²-3²)+z²/(6²-5²)+u²/(6²-7²)=1、
x²/(8²-1²)+y²/(8²-3²)+z²/(8²-5²)+u²/(8²-7²)=1，那么x²+y²+z²+u²=？
【思路】
题中初看是4个四元二次方程，细看则是同一个方程：分子x²、y²、z²、u²项及分母减数1²、3²、5²、7²项完全相同，可作恒量；分母被减数2²、4²、6²、8²互不相同，可作变量且为方程4个根，即得一元四次方程，由高次韦达定理得相应根与系数关系，可得原式的值。
【解答】
设分母被减数为t，即：
x²/(t-1²)+y²/(t-3²)+z²/(t-5²)+u²/(t-7²)=1
整理得：
t⁴-(x²+y²+z²+u²+84)t³+m2t²+m3t+m4=0（m2、m3、m4代表省略项）
设t1、t2、t3、t4为t的4个根，根据高次韦达定理，即：
t1+t2+t3+t4=-b/a=x²+y²+z²+u²+84
将2²、4²、6²、8²代入，即：
2²+4²+6²+8²=x²+y²+z²+u²+84
∴ x²+y²+z²+u²=原式=120-84=36
若
x²/(2²-1²)+y²/(2²-3²)+z²/(2²-5²)+u²/(2²-7²)=1、
x²/(4²-1²)+y²/(4²-3²)+z²/(4²-5²)+u²/(4²-7²)=1、
x²/(6²-1²)+y²/(6²-3²)+z²/(6²-5²)+u²/(6²-7²)=1、
x²/(8²-1²)+y²/(8²-3²)+z²/(8²-5²)+u²/(8²-7²)=1，那么x²+y²+z²+u²=？
【思路】
题中初看是4个四元二次方程，细看则是同一个方程：分子x²、y²、z²、u²项及分母减数1²、3²、5²、7²项完全相同，可作恒量；分母被减数2²、4²、6²、8²互不相同，可作变量且为方程4个根，即得一元四次方程，由高次韦达定理得相应根与系数关系，可得原式的值。
【解答】
设分母被减数为t，即：
x²/(t-1²)+y²/(t-3²)+z²/(t-5²)+u²/(t-7²)=1
整理得：
t⁴-(x²+y²+z²+u²+84)t³+m2t²+m3t+m4=0（m2、m3、m4代表省略项）
设t1、t2、t3、t4为t的4个根，根据高次韦达定理，即：
t1+t2+t3+t4=-b/a=x²+y²+z²+u²+84
将2²、4²、6²、8²代入，即：
2²+4²+6²+8²=x²+y²+z²+u²+84
∴ x²+y²+z²+u²=原式=120-84=36
2025-06-20
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每日数学
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