缪缪乐坊
管理员
【题目】（八年级初二）（四校自招题）
已知a、b、c为整数，满足1/a+1/b+1/c=7/9且0<a<b<c<10，求100a+10b+c=？
【思路】
条件1/a+1/b+1/c=7/9非常简单，很难再用换元法或配方法，来求解这三元一次方程。因此，只能从己知条件0<a<b<c<10，在不等式上去求解。
【解答】
由已知条件，得1/a+1/a+1/a>7/9
即a<3+6/7
又1/a<7/9
即a>1+2/7
∴a=2，3
设a=2
即1/b+1/c=7/9-1/2=5/18……①
同理，得3+3/5=18/5<b<2×18/5=7+1/5
即b=4，5，6，7
而由①式可知，只有b=6，得c=9符合条件
又设a=3
即1/b+1/c=7/9-1/3=4/9……②
同理，得2+1/4=9/4<b<2×9/4=4+1/2
即b=3，4
∴只能b=4，由②得c=9×4/(16-9)=5+1/7（非整数）
则只有a=2，b=6，c=9
∴原式=100×2+10×6+9=269
【思维】
本题是分类讨论数学思维的分类枚举法。
【赏析】
从两个已知条件，易得a的取值范围只有2和3，分别代入求出符合条件的b、c的值。因此，在用通常的方法很难求得正解时，可利用不等式条件求得某一未知数取值范围，从而一一求解。
已知a、b、c为整数，满足1/a+1/b+1/c=7/9且0<a<b<c<10，求100a+10b+c=？
【思路】
条件1/a+1/b+1/c=7/9非常简单，很难再用换元法或配方法，来求解这三元一次方程。因此，只能从己知条件0<a<b<c<10，在不等式上去求解。
【解答】
由已知条件，得1/a+1/a+1/a>7/9
即a<3+6/7
又1/a<7/9
即a>1+2/7
∴a=2，3
设a=2
即1/b+1/c=7/9-1/2=5/18……①
同理，得3+3/5=18/5<b<2×18/5=7+1/5
即b=4，5，6，7
而由①式可知，只有b=6，得c=9符合条件
又设a=3
即1/b+1/c=7/9-1/3=4/9……②
同理，得2+1/4=9/4<b<2×9/4=4+1/2
即b=3，4
∴只能b=4，由②得c=9×4/(16-9)=5+1/7（非整数）
则只有a=2，b=6，c=9
∴原式=100×2+10×6+9=269
【思维】
本题是分类讨论数学思维的分类枚举法。
【赏析】
从两个已知条件，易得a的取值范围只有2和3，分别代入求出符合条件的b、c的值。因此，在用通常的方法很难求得正解时，可利用不等式条件求得某一未知数取值范围，从而一一求解。
2025-06-12
浏览43
每日数学
登录后评论
1
评论
分享