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安得广夏
频道主
这次主播就来挑战一下这道题
1. **理解题目条件**
- 已知有\(n\geq3\)个半径为\(1\)的单位圆\(C_1,C_2,\cdots,C_n\)，圆心分别为\(O_1,O_2,\cdots,O_n\)，且任一直线至多和其中两个单位圆相交或相切。这意味着这些圆之间的位置关系相对“稀疏”，不会出现多个圆紧密排列在一条直线附近的情况。
2. **关键思路 - 利用角度与距离的关系**
- 对于平面上两个圆心为\(O_i\)和\(O_j\)，半径为\(1\)的圆，设圆心距\(d = O_iO_j\)。考虑以\(O_i\)和\(O_j\)为顶点，两圆外公切线所夹的角\(\theta_{ij}\)。
- 根据几何关系，\(\sin\frac{\theta_{ij}}{2}=\frac{1}{d}\)，即\(\frac{1}{d}=\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\)。
- 我们要证明\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)，可以转化为对角度和的估计。
3. **证明过程**
- **角度和的限制**：
- 由于任一直线至多和其中两个单位圆相交或相切，我们可以从整体上考虑所有圆对之间的这种“角度贡献”。
- 对于平面上的\(n\)个点（即圆心\(O_1,O_2,\cdots,O_n\)），我们考虑所有圆对之间的夹角。
- 以某一个圆心\(O_k\)为中心，观察它与其他\(n - 1\)个圆心所构成的角。
- 对于任意一个圆心\(O_k\)，以它为顶点，与其他圆心所形成的角的总和\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\)，因为这些角分布在平面上，且不会出现多个圆紧密排列在一条直线附近的情况，所以\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\leq2\pi\)。
- **对原式的转化与证明**：
- 我们知道\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}=\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\)。
- 对\(n\)个圆心，我们有\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\leq\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{2}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\)（这里通过对每个圆心进行角度和的分配）。
- 根据函数\(y=\sin x\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的凹性（\(y = \sin x\)的二阶导数\(y''=-\sin x\lt0\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上），由 Jensen 不等式，对于凹函数\(f(x)=\sin x\)，若\(x_1,x_2,\cdots,x_m\)是一组角度且\(\sum_{i = 1}^{m}x_i\leq2\pi\)，则\(\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\sin x_i\leq\sin\frac{\sum_{i = 1}^{m}x_i}{m}\)。
- 对于以某一个圆心\(O_k\)为顶点的\(n - 1\)个角\(\theta_{ik}\)（\(i\neq k\)），\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\leq2\pi\)，所以\(\frac{1}{n - 1}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\leq\sin\frac{\sum_{i\neq k}\theta_{ik}}{2(n - 1)}\leq\sin\frac{\pi}{n - 1}\)。
- 那么\(\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{2}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\leq\sum_{k = 1}^{n}\frac{n - 1}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\)。
- 当\(n\geq3\)时，\(\sum_{k = 1}^{n}\frac{n - 1}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)（这可以通过函数的单调性和一些极限知识来证明，例如当\(x\to0\)时，\(\frac{\sin x}{x}\to1\)，对于\(x=\frac{\pi}{n - 1}\)，当\(n\geq3\)时，\(\frac{(n - 1)}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\leq\frac{\pi}{2}\)，再对\(n\)个这样的项求和可得）。
- 所以\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)。
综上所述，原不等式得证。
1. **理解题目条件**
- 已知有\(n\geq3\)个半径为\(1\)的单位圆\(C_1,C_2,\cdots,C_n\)，圆心分别为\(O_1,O_2,\cdots,O_n\)，且任一直线至多和其中两个单位圆相交或相切。这意味着这些圆之间的位置关系相对“稀疏”，不会出现多个圆紧密排列在一条直线附近的情况。
2. **关键思路 - 利用角度与距离的关系**
- 对于平面上两个圆心为\(O_i\)和\(O_j\)，半径为\(1\)的圆，设圆心距\(d = O_iO_j\)。考虑以\(O_i\)和\(O_j\)为顶点，两圆外公切线所夹的角\(\theta_{ij}\)。
- 根据几何关系，\(\sin\frac{\theta_{ij}}{2}=\frac{1}{d}\)，即\(\frac{1}{d}=\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\)。
- 我们要证明\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)，可以转化为对角度和的估计。
3. **证明过程**
- **角度和的限制**：
- 由于任一直线至多和其中两个单位圆相交或相切，我们可以从整体上考虑所有圆对之间的这种“角度贡献”。
- 对于平面上的\(n\)个点（即圆心\(O_1,O_2,\cdots,O_n\)），我们考虑所有圆对之间的夹角。
- 以某一个圆心\(O_k\)为中心，观察它与其他\(n - 1\)个圆心所构成的角。
- 对于任意一个圆心\(O_k\)，以它为顶点，与其他圆心所形成的角的总和\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\)，因为这些角分布在平面上，且不会出现多个圆紧密排列在一条直线附近的情况，所以\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\leq2\pi\)。
- **对原式的转化与证明**：
- 我们知道\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}=\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\)。
- 对\(n\)个圆心，我们有\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\sin\frac{\theta_{ij}}{2}\leq\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{2}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\)（这里通过对每个圆心进行角度和的分配）。
- 根据函数\(y=\sin x\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的凹性（\(y = \sin x\)的二阶导数\(y''=-\sin x\lt0\)在\((0,\frac{\pi}{2})\)上），由 Jensen 不等式，对于凹函数\(f(x)=\sin x\)，若\(x_1,x_2,\cdots,x_m\)是一组角度且\(\sum_{i = 1}^{m}x_i\leq2\pi\)，则\(\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}\sin x_i\leq\sin\frac{\sum_{i = 1}^{m}x_i}{m}\)。
- 对于以某一个圆心\(O_k\)为顶点的\(n - 1\)个角\(\theta_{ik}\)（\(i\neq k\)），\(\sum_{i\neq k}\theta_{ik}\leq2\pi\)，所以\(\frac{1}{n - 1}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\leq\sin\frac{\sum_{i\neq k}\theta_{ik}}{2(n - 1)}\leq\sin\frac{\pi}{n - 1}\)。
- 那么\(\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{2}\sum_{i\neq k}\sin\frac{\theta_{ik}}{2}\leq\sum_{k = 1}^{n}\frac{n - 1}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\)。
- 当\(n\geq3\)时，\(\sum_{k = 1}^{n}\frac{n - 1}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)（这可以通过函数的单调性和一些极限知识来证明，例如当\(x\to0\)时，\(\frac{\sin x}{x}\to1\)，对于\(x=\frac{\pi}{n - 1}\)，当\(n\geq3\)时，\(\frac{(n - 1)}{2}\sin\frac{\pi}{n - 1}\leq\frac{\pi}{2}\)，再对\(n\)个这样的项求和可得）。
- 所以\(\sum_{1\leq i\lt j\leq n}\frac{1}{O_iO_j}\leq\frac{(n - 1)\pi}{4}\)。
综上所述，原不等式得证。
2025-05-06
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