从几何到函数
第一部分 圆锥曲线的几何来源和它的第一定义
从纯粹几何的角度来说，点、一条直线、两条相交的直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以通过一个平面切割一个圆锥曲面产生。
 
平面切割圆锥曲面的位置和角度不同，就会得到不同的结果。这些结果可以是单个的点、也可以是无限延伸的直线；截线可以是封闭的，比如圆和椭圆；也可以是开放的，如抛物线和双曲线等。
 
也就是说，这些截线的图形都是和圆锥曲面直接相关。
 
虽然从狭义的角度来说，我们通常只是把椭圆、抛物线、双曲线这三大曲线称为圆锥曲线，但点和直线，以及圆都可以记入圆锥曲线大家族。
 
为了从纯粹几何角度讲清楚它们之间的关系，搞清楚这几种圆锥曲线产生的机理和相互演化的过程，我们首先要搞清楚圆锥曲面是什么？它怎么形成的？
 
 
 
1.1  预备知识
圆锥曲面的定义、旋转变换的“保长性”
 
1.1.1   什么是圆锥曲面
圆锥曲面是一个旋转曲面。
如果一条动直线 m 和一条定直线L 相交于A点，二者夹角为θ ，若 以 A 为中心，以角度θ绕着 L 旋转，旋转一周之后，就会在A的两侧形成两个对称的曲面，这两个曲面称为正圆锥面，简称圆锥面。
定直线L 被称为这个圆锥面的轴线，旋转到任一位置的直线m ，称为这个圆锥面的母线， A称为圆锥面的顶点。
 
很明显，这个圆锥面被顶点A 分成对称的两支。
 
如果我们只是从经验的角度出发，就习惯地认为圆锥曲面是一条射线以一定角度，围绕顶点旋转而成的曲面，那么顶点对面对称的那一部分圆锥曲面就可能就被忽略掉了。
所以，经验，有可能给我们带来误导，保持思维的开放性是非常重要的。
 
1.1.2  旋转变换的“保长性”
正圆锥曲面形成以后，如果我们用两个相互平行，且和圆锥曲面的轴线垂直的两个平面，从顶点上下两侧，去截这个圆锥曲面的话，那么两个平行平面之间的圆锥曲面母线都是相等的，这是旋转变换的“保长性”所决定的。
当然，如果这两个平面只是位于顶点 的同一侧的话，这个结论理解起来就会更容易！
好，有了这些预备知识，我们就可以尝试拿一个平面和这个圆锥曲面相交，或者说用一个平面去切割、截取这个圆锥曲面，然后看看能出现哪些有意思的图形。
1.2
从圆锥到圆、椭圆、抛物线、双曲线
——圆锥曲线的几何直观
 
平面和圆锥曲面相交，有两种情形需要考虑，一种是这个截平面过圆锥曲面的顶点A，另一种是不过顶点A。
2.1 截平面过圆锥曲面顶点
首先来看过顶点A的情形：
我们可以用这个红色的线条M来代表和二维纸面垂直的一个平面，这个平面和圆锥曲面的轴线夹角为β，如下图：
假如这个平面一直在水平面和圆锥曲面的母线之间来回摆动，我们不考虑角度的象限问题，只关注角度的大小的话，可以认为θ<β≤π/2 ，此时，这个平面和圆锥曲面的截面只是一个点A。
这是第一个结论：一个点。
 
假如平面M转到了和圆锥曲面相切的位置，β角正好和θ相等，那么截面就是一条直线，也就是一条母线。
这是第二个结论：一条直线。
 
如果平面 继续转动，位置跑到了母线和 之间，这时平面就会和A点两侧相互对称的圆锥曲面都相交，因为截面是开放的，呈现出来的截线就会是圆锥曲面的两条母线。
这是第三个结论：两条相交直线。
 
同样，如果这个M平面正好转到了轴线上，二者夹角为0，那就相当于平面把圆锥曲面从上往下直着从中间劈开，我们能看到的截线也是两条母线。
第四个结论：两条直线。
因为圆锥曲面是关于轴线对称的，所以平面M再继续旋转的话，得到的结果和以上没什么区别。
 
第二种情况就是平面M位置靠下或者靠上，不通过顶点A和圆锥曲面相切割的情形。
这种情形下就会出现我们将要深入讨论的圆、椭圆、抛物线和双曲线这些圆锥曲线。
 
 
 
 
 
2024-11-06
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