从几何到函数
圆锥曲线——从几何直观到标准方程
我们高中阶段学习的圆、椭圆、抛物线、双曲线，甚至一个点和一条直线，都可以通过一个平面截取一个圆锥来获得，这就是把这些图形中的椭圆、抛物线和双曲线合称圆锥曲线的原因。
中学数学教材直接从解析几何的角度，通过一个动点到两个定点的距离之和是定值，或者之差是定值的方式，给出了椭圆和双曲线的定义，这就是我们熟知的第一定义；
又通过一动点到焦点和准线的距离相等这种方式定义了抛物线。
 
在抛物线的定义中，第一次出现了准线这个称呼，定义告诉我们准线是一条定直线，但这条定直线怎么来的？它的位置在哪？椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，它们是否都有准线？有的话位置在哪？我们的教材都没有详细介绍。
事实上，椭圆、抛物线、双曲线三者在几何直观中，都存在准线，这条准线是切割平面和圆锥内切球球小圆所在平面的交线，是现实存在、可以观察到的。
椭圆和双曲线是切割平面和圆锥曲面轴线的夹角大于或者小于圆锥曲线的旋转角形成的截线，所以在切割圆锥以后，圆锥曲面中可以放入两个内切球，会出现两个球小圆平面，故而它们存在两条准线；
 
但抛物线是切割平面和圆锥曲面的母线平行切割而成的，圆锥曲面中只能放入一个内切球，所以，也就只形成一个球小圆和截平面的交线，所以抛物线只有一条准线。
 
因为准线的现实存在，由此引发了圆锥曲线的第二定义。
和抛物线的定义一样，是从一个动点到一个定点和一个定直线的距离之比这个角度来定义出椭圆、双曲线和抛物线：
当动点到定点和准线的距离之比小于1时，截线为椭圆；
当动点到定点和准线的距离之比等于1时，截线为抛物线；
当动点到定点和准线距离之比大于1时，截线为双曲线。
也就是说，我们教材中，抛物线的定义是契合圆锥曲线的第二定义的，而椭圆、双曲线的定义则是第一定义。
 
第二定义引发了另外一个问题，那就是动点到定点的直线距离是如何计算的？
 
从纯粹几何的角度来看，这个比值就是截平面和轴线夹角余弦值和圆锥曲线旋转角的余弦值之比。
只要圆锥曲面和截平面确定，这两个角度都是确定的，因而二者的余弦值之比也是一个定值，我们把这个定值称之为e。
 
这个定值e和我们熟知的离心率e=c/a又是什么关系呢？
答案很明确，它们俩其实是一个值。
这一点可以从直观的几何图形的变换就能够证明。
现在，如果把圆锥曲面立体图形中得到的截线扶正，并在这个平面上建立合适的直角坐标系，就可以得到椭圆、抛物线和双曲线的标准解析几何方程。
那么，这个定值e或者说这个离心率e的变化，是如何影响椭圆、抛物线、双曲线的变化的呢？
准线的位置在平面解析几何中如何确定？
 
或者说，每一个双曲线都有两条渐进线，这两条渐进线怎么来的呢？为什么只能无限接近，就是无法到达？
 
所有这些困惑，都可以在这个圆锥曲线新版合集中找到答案！
 
 
2024-11-06
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