从几何到函数
1.2.2 圆和椭圆的几何来源
如果截平面过圆锥曲面的顶点，又碰巧和圆锥的轴线平行的话，也就相当于平面从中间把圆锥曲面一劈两半，截线就会是两条相交的无限伸展的母线；
如果截面和轴线不平行，但和轴线的夹角小于轴线和母线的夹角，那它的截面也还是两条母线。
如果平面过顶点，又正好和圆锥面的母线平行，也就相当于一个平面和圆锥面相切，得到的截面曲线就是单一的一条母线。
最普通的情形是平面并没有过圆锥曲面的顶点，而是随便找一个位置就将圆锥曲面切开，这时候的截面曲线会怎样呢？
 
我们还是分几种情况分别讨论。
第一种情况，平面和圆锥曲面的轴线垂直
此时β=90°，也就相当于我们把过顶点的水平面直接往下或者往上平移一段距离：
如上图，此时截面曲线为C，是一个圆。
为什么是圆呢？怎么证明？
如果我们设截面与圆锥轴线的交点为A’,这个点其实就是顶点A在截平面上的投影。
对于圆锥面来说，从顶点A到截线的任一点的长度都是母线的一段，长度都是相同的，现在这些相等的线段在截平面上的投影也应该是相同的，也就是从A’点出发到截面曲线C上任一点的长度也是相同的，从而可以得出截线为圆的结论：
如果截平面和圆锥曲面的轴线垂直，且截平面不经过圆锥曲面的顶点，其截线为圆。
如果给出了从顶点到截面母线的长度，截线圆的半径数据也很容易求出。
第二种情况，平面不过顶点，但平面和轴线的夹角β小于90°，但又比θ角大，也就是下面这种情形：
这种情况下，我们看到的截平面，似乎都具有相同的特征。
只要能够保证平面和圆锥曲面轴线的夹角在90°和θ角之间，那么截平面看着都会像一个压扁的圆，只是程度不太一样而已。
这种扁扁的圆，被定名为椭圆。
既然外形相似，那么这些相似的外形肯定是由一个共同的规则来保证的，我们现在需要找出这个共同的规则到底是什么！
 
几何学家经过仔细研究后认为，如果把一个球塞到截平面和圆锥顶点之间的较小的空间的话，总能找到一个合适的小球（Dandelin球）S-1，确保球体既能和圆锥曲面相切，又能和截平面相切；
同样，在截平面之下，也能找到这么一个球（Dandelin球）S-2，确保球体和锥面与截平面均相切：
我们现在找到平面上方狭小空间里的小球和截平面的切点 ，以及呆在下面较为宽松环境的大球与截平面的切点 ，只要锥体和截平面所在的位置是确定数据的话，那么这两个切点就会是确定不变的，这一点非常重要。
 
我们继续找到小球S-1和大球S-2分别与圆锥曲面相切的切点，此时我们发现，一个球和一个圆锥面相切，切点可以围成一个圆，我们现在把分别把这两个圆称为“球小圆”:C-1 和C-2。
这两个球小圆，我们用绿色的虚线表示。
显然，球小圆上的点，都是在圆锥曲面上的。
我们知道，从圆外一个点向圆做切线的话，这个点到所有切点的距离都是相等的，这个规则对于球来说也适用，也就是说，从球外一点向同一个球引切线，那么所有的切线也是相等的。
上图中，在扁圆的红色的截线上随便找到一点P，点P既在圆锥曲面的其中一条母线上，又在切割圆锥面的平面上。这条母线和球相切，切点为G，那么，PG的长度，应该和PF的距离相等，也就是：
P点变换位置的话，其实就是在圆锥面的各条母线上来回变换，都会有上述的结论。
那么现在就有：
为什么说 是定值？ ？
很明显，只要圆锥面和截面的数据确定，两个球小圆的位置是确定的，二者之间母线的长度也就是确定的。
 
由此我们知道，我们看着具有类似外形特征的封闭截线，是具有共同的数据特征的，那就是这个扁扁圆上的任意一点，到两个固定点的距离之和是一个定值。
 
数学家们把符合这种数据特征的扁的圆称为椭圆。
也就是说：
如果一个点到两个固定点的距离之和是定值，且定值大于两固定点之间的距离，那么这个点的集合就是椭圆。
 
上述结论里面有一个必须满足的条件：这个定值要大于两固定点之间的距离。
如果等于两定点之间的距离，那这个点的集合就只能是两定点之间的这一小段线段了！
 
 
 
 
 
 
2024-11-06
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