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帖子F-27 Partial Differential Equations P9 
注：u二次偏导可交换。
注：这是一个轻松的方式去找到WE的一些解 
注，下面黄字部分，取w=0，v=0求得了u的两个解，具体内容请结合前面的method of characteristics，帖子F-23：
注：左下角对设的f和g函数进行加减，u_t和u_x用f，g表示，再设f是F的导数，g是G的导数，然后经过计算可以发现从u_t和u_x分别出发，u可以用F、G以同一形式进行表示。
solvingthewaveequation
注：以下图中WE是waveequation的简称
☆命题：假设u是WE的一个解，那么有图中w=u_t+c·u_x是特定运输方程的一个解，即，w_t-c·w_x=0
从推导过程中也可以看出，如果我们大前提定义w=u_t+c·u_x，那么u是WE的解和w是w_t-c·w_x=0的解，等价，如下：
当然，倘若考虑图中常数c的正负。我们还可以类似于w定义v，如图所示v=u_t-c·u_x，也有前面一致的结论。
注：结合对于齐次线性偏微分方程WE，任意两解加起来还是其一个解。可以得到更多解。
思考题：
注：个人看法，可以考虑高中学的三角函数的公式
注：至于右边中间划去的function of x和function of t，因为虽然对t求导，会导致仅关于x的函数被直接消灭，对x求导，会导致关于t的函数直接被消灭，但二者都表示u，积分还原以后多出来的部分最多就一个常数。又由于f和g的任意性，导致了F,G的任意性，所以不妨将常数项吸收近F或者G中，所以依旧可以划去省略。
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2025-04-19
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