相对论
关于二维常曲率度规之间的坐标变换的一道习题
先回顾一下出这道题的动机，这是一个漫长的旅程，

开始于2024年7月份我试图找出物质场为匀强电场的时空度规，一开始怎么设度规形式都没法同时满足场方程和麦氏方程，于是感觉应该不存在这种解，然后利用微广上册8.6节给出的平面对称电磁场产生的平面对称度规的一般形式证明了场方程确实不允许匀强电场解（见本频道文章《匀强电场产生不了平面对称度规》，传送门：https://pd.qq.com/s/algi4ho7t）；

（顺便关于匀强电场的匀强定义，一开始一直是一个模糊的概念，即电场强度恒定，且电场线平行，即设代表电场线为x坐标线，则度规分量gxx为常数；

后来在2025年10月份我研究广相中的匀强引力场时给出了严格定义：设电场定义在静态时空的类空超曲面上，则称其为匀强的，当且仅当电场线汇用超曲面诱导协变导数衡量的膨胀张量Bab=0，具体见本频道文章《广相中的匀强引力场》，传送门：https://pd.qq.com/s/52tt0uskx）

但是后来，转年的2025年1月底，我想到了既然场方程不满足，我引入宇宙学常数看看行不行，结果发现确实行，即我独立得到了匀强电场度规，即寻风度规3（传送门：https://pd.qq.com/s/h4q37zle9）；

接着于2026年2月我考虑一个单向膨胀的电磁宇宙度规，
（见寻风度规14，传送门：https://pd.qq.com/s/6xks19oqh）发现物质场也是匀强电场，而且度规形式和寻风度规3有些像，进一步发现其相差一个复坐标变换（很凑巧在之前的2025年12月份，我看了一篇史瓦西度规经超光速伪转动得到的新度规的文章，由此知道了这种复变换正好是那篇文章说的超光速伪转动的情形，具体见本频道文章寻风度规12，传送门：https://pd.qq.com/s/ftq9fh09o）

然后想到其前两维作为二维度规，曲率标量和寻风度规3的前两维一样是常数，似乎是常曲率度规，回头翻了下微广下册附录J，用黎曼曲率张量判断确实是，而且根据其给出的命题，确实和寻风度规3的前两维在电场强度相同时代表同一个二维度规

接着就想到能用我之前的文章里的方法找出坐标变换，这道题就这么出出来了

最后是解答：

第一问好说，先计算出曲率，再利用微广下册附录J的定义1判断出这俩度规属于具有相同号差维数和截面曲率的常曲率度规，再由下册附录J的命题J-1-1便直接得证

第二问目前方法有两个，一个是我上一篇文章《寻风度规14：匀强电场度规II：一个单方向膨胀的电宇宙》最后给出的，

利用我2024年5月底用一个膨胀为0的类时矢量场推出来的二维RW度规的一个无膨胀坐标系到各向同性系的坐标变换直接推出来（本频道时空建筑师分区里有这篇文章，传送门：https://pd.qq.com/s/alfwxa99p）

动机也很显然，寻风度规14是二维RW度规，寻风度规3的线元所用参考系则是膨胀为0的参考系，就自然想到了我之前的这篇文章，里边得到的结论直接用就行了

方法2是dp给出的，传送门：https://chat.deepseek.com/share/x0enfp71iqy0ynyf1q
思路也很漂亮，作为两个二维度规，类光测地线只有两个方向，可用类似史瓦西时空克鲁斯卡坐标的思路，将其分别写成双类光形式，两个类光坐标V,U和V',U'分别代表两族类光测地线的参数，并且不需要消坐标奇性那样找仿参，因为作为同一个度规，两者之间类光坐标的差距就只是重参数化，于是坐标变换就一定为V'=V'(V),U'=U'(U)形式，然后代入线元相等再积下分就出来了

顺便我是真没想到dp真能找到坐标变换，一开始我是真以为dp回答不出来的，只能说ai的发展日新月异，现在的我已经很难或者说基本出不了dp答不出来的题了emoji
2026-02-16
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